Materi, Soal, dan Pembahasan – Pertumbuhan dan Peluruhan

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 2.000.000 \\ i & = 2\% = 0,02 \\ n & = 2025-2020 = 5 \end{aligned}$$Jumlah penduduk pada tahun $2025$ yang dinotasikan $P_5$ dapat dicari dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1+i)^n \\ P_5 & = 2.000.000(1+0,02)^5 \\ & = 2.000.000(1,02)^5 \\ & \approx 2.208.162 \end{aligned}$$Jadi, penduduk di kota $X$ pada tahun $2025$ diperkirakan sebanyak $\boxed{2.208.162~\text{jiwa}}$
(Jawaban D)

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 1.000.000 \\ i & = 5\% = 0,05 \\ n & = 12 \div 4 = 3 \end{aligned}$$Jumlah bakteri setelah $12$ jam yang dinotasikan $P_3$ dapat dicari dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1-i)^n \\ P_3 & = 1.000.000(1-0,05)^3 \\ & = 1.000.000(0,95)^3 \\ & = 857.375 \end{aligned}$$Jadi, jumlah bakteri setelah $12$ jam akan tersisa $\boxed{857.375~\text{unit}}$
(Jawaban C)

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 200 \\ i & = 10\% = 0,1 \\ n & = 100 \div 10 = 10 \end{aligned}$$Massa bahan $X$ setelah $100$ hari dinotasikan $P_{10}.$
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1-i)^n \\ P_{10} & = 200(1-0,1)^{10} \\ & = 200(0,9)^{10} \\ & \approx 69,74 \end{aligned}$$Jadi, massa bahan $X$ setelah $100$ hari sekitar $\boxed{69,74~\text{gram}}$
(Jawaban D)

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 125 \\ i & = 12\% = 0,12 \\ n & = 3~\text{hari} \div 12~\text{jam} = 6 \end{aligned}$$Massa bahan radioaktif tersebut setelah $3$ hari dinotasikan $P_{6}.$
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1-i)^n \\ P_{6} & = 125(1-0,12)^{6} \\ & = 125(0,88)^{6} \\ & \approx 58,05 \end{aligned}$$Jadi, massa bahan radioaktif tersebut setelah $3$ hari sekitar $\boxed{58,05~\text{gram}}$
(Jawaban C)

Diketahui:
$$\begin{aligned} i & = 8\% = 0,08 \\ n & = 3 \end{aligned}$$Misalkan kadar radioaktif mineral tersebut mula-mula adalah $P_0,$ sedangkan kadar setelah peluruhan selama $3$ jam adalah $P_3.$ Kita peroleh
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1-i)^n \\ P_{3} & = P_0(1-0,08)^{3} \\ & \approx P_0(0,7787) \end{aligned}$$Jadi, persentase kadar bahan radioaktif tersebut setelah $3$ jam sekitar $\boxed{0,7787 \cdot 100\% = 77,87\%}$
(Jawaban C)

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 400~\text{ha} \\ i & = 5\% = 0,05 \\ n & = 2031-2019 = 12 \end{aligned}$$Perkiraan areal sawah pada tahun 2031 yang dinotasikan $P_{12}$ dapat dicari dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1-i)^n \\ P_{12} & = 400(1-0,05)^{12} \\ & = 400(0,95)^{12} \\ & \approx 216 \end{aligned}$$Jadi, perkiraan areal sawah pada tahun 2031 di daerah tersebut adalah $\boxed{216~\text{ha}}$
(Jawaban C)

Diketahui:
$$\begin{aligned} i & = 10\% = 0,1 \\ n & = 4 \end{aligned}$$Akan dicari persentase nilai $P_4$ terhadap $P_0.$
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1+i)^n \\ P_4 & = P_0(1+0,1)^4 \\ P_4 & = P_0(1,4641) \\ & = P_0(1 + 0,4641) \\ & = P_0 + \color{red}{46,41\%}P_0 \end{aligned}$$Jadi, kenaikan jumlah penduduk dalam kurun waktu $4$ tahun adalah $46,41\%$ atau dibulatkan menjadi $\boxed{46,4\%}$
(Jawaban D)

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 0,5~\text{kg} = 500~\text{g} \\ i & = 2\% = 0,02 \\ n & = \left[09.00-05.00\right] = 4 \end{aligned}$$Sisa zat radioaktif pada pukul $09.00$ pagi yang dinotasikan $P_4$ dapat dicari dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1-i)^n \\ P_4 & = 500(1-0,02)^4 \\ & = 500(0,98)^4 \\ & \approx 461,18 \end{aligned}$$Jadi, sisa zat radioaktif itu pada pukul $09.00$ pagi adalah $\boxed{461,18~\text{g}}$
(Jawaban C)

Diketahui:
$$\begin{aligned} N_0 & = 200~\text{gram} \\ N & = 3,125~\text{gram} \\ T^{1/2} & = 5~\text{tahun} \end{aligned}$$Kita akan mencari nilai $t.$
$$\begin{aligned} N & = N_0\left(\dfrac12\right)^{n} \\ 3,125 & = 200\left(\dfrac12\right)^{n} \\ \dfrac{3,125}{200} & = \left(\dfrac12\right)^n \\ \dfrac{1}{64} & = \left(\dfrac12\right)^n \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan bahwa nilai $n = 6.$ Karena $n = \dfrac{t}{T^{1/2}},$ maka kita peroleh
$$\begin{aligned} t & = N \cdot T^{1/2} \\ & = 6 \cdot 5~\text{tahun} \\ & = 30~\text{tahun} \end{aligned}$$Jadi, waktu yang diperlukan oleh zat radioaktif tersebut adalah $\boxed{30~\text{tahun}}$
(Jawaban D)

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 100.000 \\ P_n & = 249.000 \\ i & = 20\% = 0,2 \end{aligned}$$Akan dicari lamanya hari sejak bakteri telah ditemukan oleh dokter itu, dinotasikan oleh $n.$
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1+i)^n \\ 249.000 & = 100.000(1+0,2)^n \\ \dfrac{249.000}{100.000} & = (1,2)^n \\ n & = ^{1,2} \log \dfrac{249.000}{100.000} \\ n & \approx 5 \end{aligned}$$Jadi, sudah sekitar $\boxed{5}$ hari bakteri itu ditemukan oleh dokter tersebut.
(Jawaban C)

Diketahui:
$$\begin{aligned} N_0 & = 5~\text{g} \\ t & = 1~\text{hari} = 24~\text{jam} \\ T^{1/2} & = 3~\text{jam} \end{aligned}$$Ditanya: $N_t = \cdots \cdot$
Dengan menggunakan persamaan peluruhan zat radioaktif, yaitu $N_t = N_0\left(\dfrac12\right)^{\dfrac{t}{T^{1/2}}}$, kita peroleh
$$\begin{aligned} N_t & = 5\left(\dfrac12\right)^{\dfrac{24}{3}} \\ & = 5\left(\dfrac12\right)^8 \\ & = 5 \cdot \dfrac{1}{256} \approx 0,0195 \end{aligned}$$Jadi, massa zat yang tersisa setelah meluruh selama satu hari adalah $\boxed{0,0195~\text{gram}}$ 
(Jawaban C)

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_t & = 3.000 \\ P_0 & = 2.500 \\ t & = 2022-2018 = 4 \end{aligned}$$Dalam kasus ini, kita akan mencari nilai $r$, yaitu laju pertumbuhan penduduk berdasarkan rumus $P_t = P_02^{rt}$.
Substitusi data yang diketahui dan kita peroleh
$$\begin{aligned} 3.000 & = 2.500(2)^{4r} \\ \dfrac{3.000}{2.500} & = (2^4)^r \\ \dfrac65 & = 16^r \\ r & = \! ^{16} \log \dfrac65 \\ & \approx 0,0658 = 6,58\% \end{aligned}$$Catatan: Anda perlu menggunakan kalkulator atau program komputasi untuk menghitung nilai dari bentuk logaritma di atas.
Jadi, persentase pertumbuhan penduduk suku Bajo tersebut adalah $\boxed{6,58\%}$
(Jawaban D)

Diketahui $f(x) = 500 + 2^x$.
Perhatikan bahwa $x$ harus berupa bilangan bulat positif karena dicatat setiap jam.
Tabel berikut menunjukkan populasi virus saat beberapa jam pertama.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nilai}~x & \text{Nilai}~f(x) \\ \hline 1 & 500+2 = 502 \\ 2 & 500 + 4 = 504 \\ 3 & 500 + 8 = 508 \\ 4 & 500 + 16 = 516 \\ 5 & 500 + 32 = 532 \\ 6 & 500 + 64 = 564 \\ 7 & 500 + 128 = 628 \\ 8 & 500 + 256 = 756 \\ 9 & 500 + 512 = 1.012 \\ \hline \end{array}$
Berdasarkan nilai $f(x)$ di atas, yang tidak menunjukkan populasi virus adalah $\boxed{524}$
(Jawaban B)

Peluruhan radioaktif bisa dimodelkan sebagai fungsi eksponen.
Aktivitas radiasi dinyatakan oleh$N = N_0\left(\dfrac12\right)^n$ dengan $n = \dfrac{t}{T^{1/2}}.$ Diketahui:
$$\begin{aligned} N_0 & = 16~\text{mCi} \\ T^{1/2} & = 8~\text{hari} \\ t & = 32~\text{hari} \end{aligned}$$Diperoleh rasio $n = \dfrac{32}{8} = 4.$
Kita dapatkan
$$A = 16\left(\dfrac12\right)^4 = 16\left(\dfrac{1}{16}\right) = 1.$$Jadi, banyak (I-131) yang tertinggal dalam tubuh pasien setelah 32 hari adalah $\boxed{1~\text{mCi}}$

Diketahui:
$$\begin{aligned} T^{1/2} & = 15~\text{tahun} \\ N_0 & = 100~\text{gram} \end{aligned}$$Untuk $t = 15~\text{tahun},$ diperoleh $n = \dfrac{t}{T^{1/2}} = \dfrac{15}{15} = 1$ sehingga
$$\begin{aligned} N & = N_0\left(\dfrac12\right)^n \\ & = 100\left(\dfrac12\right)^1 \\ & = 50~\text{gram} \end{aligned}$$Jadi, banyak DDT yang masih tertinggal setelah 15 tahun adalah $\boxed{50~\text{gram}}$
Untuk $t = 30~\text{tahun},$ diperoleh $n = \dfrac{t}{T^{1/2}} = \dfrac{30}{15} = 2$ sehingga
$$\begin{aligned} N & = N_0\left(\dfrac12\right)^n \\ & = 100\left(\dfrac12\right)^2 \\ & = 25~\text{gram} \end{aligned}$$Jadi, banyak DDT yang masih tertinggal setelah 30 tahun adalah $\boxed{25~\text{gram}}$
Untuk $t = 45~\text{tahun},$ diperoleh $n = \dfrac{t}{T^{1/2}} = \dfrac{45}{15} = 3$ sehingga
$$\begin{aligned} N & = N_0\left(\dfrac12\right)^n \\ & = 100\left(\dfrac12\right)^3 \\ & = 12,5~\text{gram} \end{aligned}$$Jadi, banyak DDT yang masih tertinggal setelah 45 tahun adalah $\boxed{12,5~\text{gram}}$
Untuk $t = 60~\text{tahun},$ diperoleh $n = \dfrac{t}{T^{1/2}} = \dfrac{60}{15} = 4$ sehingga
$$\begin{aligned} N & = N_0\left(\dfrac12\right)^n \\ & = 100\left(\dfrac12\right)^4 \\ & = 6,25~\text{gram} \end{aligned}$$Jadi, banyak DDT yang masih tertinggal setelah 60 tahun adalah $\boxed{6,25~\text{gram}}$
Untuk $t = 75~\text{tahun},$ diperoleh $n = \dfrac{t}{T^{1/2}} = \dfrac{75}{15} = 5$ sehingga
$$\begin{aligned} N & = N_0\left(\dfrac12\right)^n \\ & = 100\left(\dfrac12\right)^5 \\ & = 3,125~\text{gram} \end{aligned}$$Jadi, banyak DDT yang masih tertinggal setelah 75 tahun adalah $\boxed{3,125~\text{gram}}$

Jawaban a)
Kenaikan jumlah pelanggan pada kasus ini memenuhi fungsi eksponen $P(n) = P_0(1+i)^n.$
Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 100 \\ i & = 80\% = 0,8 \\ n & = x \end{aligned}$$Substitusi dan kita peroleh
$$\begin{aligned} P(x) & = 100(1+0,8)^x \\ & = 100(1,8)^x \end{aligned}$$Jadi, model yang dapat digunakan untuk menentukan jumlah pelanggan telepon genggam di kota kecil tersebut setelah $x$ tahun adalah fungsi eksponen $P(x) = 100(1,8)^x.$
Jawaban b)
Untuk membuat sketsa grafik fungsi eksponen tersebut, kita dapat meletakkan sejumlah titik pada sistem koordinat, lalu menghubungkannya.
$$\begin{array}{cc} \hline x & P(x) \\ \hline 0 & 100(1,8)^0 = 100 \\ 1 & 100(1,8)^1 = 180 \\ 2 & 100(1,8)^2 = 324 \\ 3 & 100(1,8)^3 = 583,2 \\ \hline \end{array}$$Posisikan empat koordinat titik yang kita dapat pada kertas grafik, lalu hubungkan sehingga akan tampak seperti gambar di bawah.
Catatan: Gambar diambil dari hasil ekspor penggunaan aplikasi GeoGebra.

Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 1 \\ P_n & = 1.000.000 \\ r & = 2 \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus barisan geometri, kita peroleh
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(r)^n \\ 1.000.000 & = 1(2)^n \\ n & = \! ^2 \log 1.000.000 \approx 19,\cdots \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan bahwa sel kanker melakukan sebanyak $\lceil 19,\cdots \rceil = 20$ kali sehingga lama hidup tikus itu adalah $\dfrac12 \cdot 20 = 10~\text{hari}$